Крива

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді. Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі: x^i = x^i(t) \, де x^i \, — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в Евклідовому просторі або многовиді, а t — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки) Розглянемо рівняння кривої в Декартовій системі координат n-мірного Евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої: [[|міні|]]

Похідну по параметру позначатимемо крапкою зверху: [[|міні|]] Очевидно, що вектор \mathbf{v} = \dot \mathbf{r} (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої. Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками \mathbf{r} і \mathbf{r}+ d\mathbf{r} дорівнює: [[|міні|]] Довжина відрізка кривої, коли параметр t пробігає значення від t_1 до t_2, дається інтегралом: [[|міні|]]

Якщо в інтегралі розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію s = s(t), визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі). Ця величина s також параметризує точки нашої кривої; s називається натуральним параметром кривої. Якщо вектор швидкості \mathbf{v} = \dot \mathbf{r} ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція s = s(t) всюди монотонно зростає і має обернену функцію t = t(s). [[|міні|]] [[|міні|]] [[|міні|]] [[|міні|]] Типи точок на кривій Точка зламу Точка перегину Типи кривих Замкнута крива — крива у якої початок збігається з кінцем. Плоска крива — крива, всі точки якої лежать в одній площині. Проста крива — те саме, що крива Жордана Шлях — неперервне відображення відрізка [0,1] в топологічний простір. Трансцендентна крива [[|міні|]] [[|міні|http://go1.imgsmail.ru/imgpreview?key=7146a35196a70337&mb=imgdb_preview_423]] [[|міні|]] http://go4.imgsmail.ru/imgpreview?key=39f7344f06ef58d8&mb=imgdb_preview_1277