Кінець

Значення

- Крайній пункт, межа протяглості предмета, площини тощо, а також те, що прилягає до такого пункту, межі; протилежне початок. В кінці села, коло самої Раставиці, стояла хата старого Петра Джері (Нечуй-Левицький, II, 1956, 168); Він просить у Хаєцького ножа, щоб зачищати кінці кабеля (Олесь Гончар, I, 1954, 50); // Остання, завершальна частина якогось твору, книжки тощо. Дуже жалкую я, що не маю кінця Вашої книжки «В поті чола» (Михайло Коцюбинський, III, 1956, 116). - Останній момент чого-небудь, що відбувається в часі, а також час, пов'язаний із цим моментом. В кінці літа Тасю одвезено до школи (Коцюб., І, 1955, 321); Кінець дня минув у напруженій роботі (Трубл., II, 1955, 274); // Завершення, закінчення чого-небудь. Кінець діло хвалить (Номис, 1864, № 10005); [Степан:] Бачу, дружбі нашій кінець (Корн., II, 1955, 120). - 3. перен., розм. Смерть, загибель. - Тож він завтра із другою Піде під вінець... А я собі під водою Знайду вже кінець! (Л. Укр., І, 1951, 325); Зворушення, прощання і подорож прискорили його кінець (Коб., III, 1956, 306); І океанів тих немає, Щоб вірні роз'єднать серця... Тому й сичиш ти, люта зграє, Свого чекаючи кінця (Рильський, Мости, 1948, 53). -4. мор. Мотузка, канат для причалювання суден. На кормі стояв з приготовленим кінцем сам боцман (Ткач, Крута хвиля, 1956, 271).

Приклад з літератури

В обидва кінці - туди й назад. - Скільки ж це буде верстов? - запитав Григорія наш дід Семен.. - А хто їх там лічив,- стримано відповів мандрівник.. - Кажуть, двадцять тисяч в обидва кінці? (Довж., І, 1958, 77); В усіх кінцях чого- всюди, скрізь; Доходити (дійти) [до] кінця див. доходити; Зводити (звести, зв'язувати) кінці [з кінцями]: а) узгоджувати різні частини, сторони якої-небудь справи. Інший заведе-заведе, так що ну; та не зведе кінців, та тільки вже мовчки гарчить на других (Кв.-Осн., II, 1956, 248); [Бондар:] Ви ж самі не можете звести кінці з кінцями у цих папірцях (Зар., Антеї, 1961, 40); б) ледве справлятися з нестатками. Усіх людей ділив [Григорій] на багачів, злидарів і тих, що сяк-так крутяться на землі, зводячи кінці з кінцями (Стельмах, Хліб.., 1959, 236); З (із) кінця в кінець; Від кінця до кінця - з одного краю в інший. Він ще раз проходить його [двір] од кінця до кінця, самотній і безпомічний (Коцюб., II, 1955, 19); З гір, із далеких лісів ринуть в долину вітри, шарпаються з кінця в кінець (Кол., На фронті.., 1959, 194); Знайти кінець див. знаходити; З різних (усіх і т. ін. ) кінців - з різних (усіх і т. ін.) боків, сторін; звідусіль. Дзвін загудів. По дворі почали мигтіти ченці молоді, як мухи, зо всіх кінців (Вовчок, VI, 1956, 253); Кінців не знайти - ні про що не дізнатися; Кінці [з кінцями] не сходяться (не зійшлися): а) важко справлятися комусь із труднощами, нестатками; не йде справа на лад. Мене дуже тягне на різдво поїхати на Русь, та якось не сходяться кінці. Треба сидіти та вчитися (Стеф., III, 1954, 28); б) немає узгодженості, відповідності між різними частинами, сторонами якої-небудь справи. - Ти ж.. комору в порядку передав? - Та трохи не зійшлися кінці з кінцями. Нестачу я завтра ж донесу (Стельмах, Правда.., 1961, 322); Кінці [з кінцями] сходяться (зійшлися): а) щось робиться, здійснюється так, як належить; б) є узгодженість, відповідність між різними частинами, сторонами якої-небудь справи; Кінці знайти - дізнатися про що-небудь. [Оксана:] Артем зміг би кінці знайти (Корн., II, 1955, 131); Кінці [у воду] ховати (заховати і т. ін. ) - не залишати ніяких слідів злочину, вчинку. - Мені поперед усього треба людей розумних, .. кованих на всі чотири ноги ..Щоб уміли робити моїм іменем.. і ховати кінці в воду... (Фр., VI, 1951, 358); На кінці язика є (знаходиться і т. ін. ) що в кого, рідко кому: а) хтось завжди швидко, без труднощів дає відповідь на що-небудь; б) хтось має велике бажання що-небудь сказати. По розпалених обличчях молдуван видко було, що якась цікава новина свербить їм на кінці язика (Коцюб., І, 1955, 193); На (у) всі (різні) кінці - на (у) всі (різні) боки, сторони. У нас зійшло вже сонце, його вогні ми шлем на всі кінці... (Сос., І, 1957, 479); Вершники на момент круто збили коней і потім з тваринним криком кинулись у різні кінці (Панч, В дорозі, 1959, 36); Не з того кінця робити (починати й т. ін. ) що - не так, як треба робити, починати тощо; Палиця з двома кінцями; Палиця на два кінці; У палиці два кінці - якийсь захід може повернутися злом і проти того, хто його починає. -Від (з) початку до кінця - повністю, цілком. Заграти [«Крейцерову сонату»] цілу, з початку до кінця, ..їй не під силу (Л. Укр., V, 1956, 221); Віднині й до [кінця] віку див. віднині; Доводити (довести) до кінця див. доводити; Доїхати кінця див. доїжджати; І ділу кінець - що-небудь закінчено; і все. Проковтнув би його [вареник], та й кінець ділу; так гріх, піст зайшов (Кв.-Осн., II, 1956, 110); Класти (покласти) кінець див. класти; Під кінець чого - під час закінчення чого-небудь. Так пройшло кілька репетицій і під кінець їх Настя робила часом більше помилок, ніж впочатку [спочатку] (Л. Укр., III, 1952, 585).

перен., розм. Смерть, загибель. - Тож він завтра із другою Піде під вінець... А я собі під водою Знайду вже кінець! (Л. Укр., І, 1951, 325); Зворушення, прощання і подорож прискорили його кінець (Коб., III, 1956, 306); І океанів тих немає, Щоб вірні роз'єднать серця... Тому й сичиш ти, люта зграє, Свого чекаючи кінця (Рильський, Мости, 1948, 53).

-Без кінця; Без кінця-краю; Без кінця й краю: а) дуже далеко, безконечно. В голові була одна думка, одне бажання, щоб ця дорога розтяглася без кінця-краю... (Коцюб., І, 1955, 250); б) дуже довго. Ніяково було сидіти «в гостях» без кінця (Л. Укр., V, 1956, 361); в) безперервно, весь час. Лиш в коридорі вартового лунають кроки без кінця (Сос., II, 1958, 402); г) дуже велика кількість; безліч. Нижче летіли і крутились чорногузи, качки і.. різного дрібного птаства без кінця й краю (Довж., І, 1958, 173); До кінця - цілком, повністю. Щоб Вас [В. М. Гнатюка] до кінця розсердити, то попрохаю ще вислати 1 пр. «Кобзаря» Шевченка (Коцюб., III, 1956, 289); Зробити кінець див. зробити; Кінець кінцем - у кінцевому підсумку, нарешті. Трудом ми все на світі робим, Трудом живем, кінець кінцем! (Нех., Ми живемо.., 1960, 95); Немає (не буде, не було, не видно і т. ін. ) кінця (кінця-краю, ні кінця ні краю) чому: а) щось дуже далеко простягнулося. Здавалось, плавням нема кінця-краю (Коцюб., І, 1955, 360); б) щось дуже довго триває. - Припиняйте позачергові дебати, бо не буде їм ні кінця ні краю (Чаб., Тече вода.., 1961, 175); в) безліч кого-, чого-небудь. Сім днів вони не їли й відбивають атаки люті ворогів.., а ворогам кінця немає (Сос., II, 1958, 438)

Кінець в теоріїї графів

В математиці нескінченних графів, кінець графа інтуїтивно являє собою напрямок, в якому граф тягнеться до нескінченності. Кінець може бути математично формалізовано як клас еквівалентності нескінченних шляхів, які описують стратегії переслідування-ухиленні у іграх на графі, або (в разі локально скінченних графів) як топологічні кінці топологічних просторів, пов'язаних з графом.

Кінці графів можуть бути використані (за допомогою графів Келі), щоб визначити кінці звичайно породжених груп. Скінченно породжені нескінченні групи мають один, два, або нескінченно багато кінців, а теорема Сталлінгса[en] про кінці груп забезпечує розкладання для груп з більш ніж одним кінцем. Визначення та характеристика Кінці графів були визначені Рудольфом Халіном[en] (1964) в термінах класів еквівалентності нескінченних шляхів.[1] Промінь в нескінченному графі є напівнескінченний простий шлях, тобто, це нескінченна послідовність вершин v0, v1, v2, … , де кожна вершина з'являється більше одного разу в послідовності і кожні дві послідовні вершини в послідовності є двома кінцевими точками ребра в графі. Згідно з визначенням Халіна, два променя r0 та r1 є еквівалентними, якщо існує ще один промінь r2 (він не обов'язково відрізняється від будь-якого з перших двох променів), який містить нескінченно багато вершин в кожному з r0 та r1. Це відношення еквівалентності: кожен промінь еквівалентний сам собі, тобто визначення симетрично щодо впорядкування двох променів, також можливо показати, що це відношення транзитивне. Таким чином, воно розділяє безліч всіх променів на класи еквівалентності, і Халін визначив кінець як один з цих класів еквівалентності.

Альтернативне визначення того ж відношення еквівалентності таке:[2] два променя r0 та r1 є еквівалентними, якщо не існує скінченної множини вершин X, что відокремлює нескінченно багато вершин r0 з нескінченним числом вершин r1. Це еквівалентно визначенню Халіна: якщо промінь r2 з визначення Халіна існує, то будь-який роздільник повинен містити нескінченне число точок r2 і, отже, не може бути скінченним, і навпаки, якщо r2 не існує, то шлях, який чергується стільки раз, скільки можливо між r0 та r1, повинен формувати необхідний скінченний роздільник.

Кінці також мають більш конкретну характеристику з точки зору сховищ[en], функцій, які описують стратегії ухилення від сплати для гри переслідування-ухилення на графі G.[3] У грі в питанні, грабіжник намагається ухилитися від множини поліцейських при переході від вершини до вершини уздовж ребер G. У поліції є вертольоти, і тому вони не повинні слідувати по ребрах; Однак грабіжник може бачити, що поліція приходить і може вибрати, куди рухатися, перш ніж вертольоти приземлються. Одним з головних достоїнств є функцієя β, яка відображає кожну множину X розташування поліцейських до однієї з зв'язкових компонент підграфа, утвореного видаленням X; розбійник може ухилитися від поліції, рухаючись в кожному раунді гри в вершину цієї компоненти. Сховища повинні задовольняти властивості узгодження (що відповідає вимозі, що грабіжник не може переміщатися через вершини, на яких поліція вже приземлилась): якщо X є підмножина Y, і обидві множини X та Y є дійсними множинами місць для даної множини поліції, тоді β(X) повинна бути множиною, яка містить β(Y).Одним з головних достоїнств є порядок k, якщо сукупність місць поліції, для яких вона забезпечує стратегію евакуації включає в себе всі підмножини менші, ніж k вершин в графі; зокрема, вона має порядок ℵ0, якщо він відображає кожну скінченну підмножину X вершин до компоненти G \ X. Кожному проміню в G відповідає сховище порядку ℵ0, а саме, функція β, що відображає кожну скінченну множину X до єдиної компоненти G \ X, яка містить нескінченно багато вершин променя. І навпаки, кожне сховище порядку ℵ0 може бути визначене таким чином променем. Два променя еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони визначають одне і теж сховище, так що кінці графа знаходяться у взаємно однозначній відповідності з його сховищами порядку ℵ0. Зв'язок з топологічними кінцями У теоретико-множинній топології, існує поняття кінця, який подібний до, але не зовсім такий же, як, поняття кінця в теорії графів, введений набагато раніше Фрейденталем (1931). Якщо топологічний простір може бути покрито вкладеною послідовністю компактів {\displaystyle \kappa _{0}\subset \kappa _{1}\subset \kappa _{2}\dots }{\displaystyle \kappa _{0}\subset \kappa _{1}\subset \kappa _{2}\dots }, то кінець простору являє собою послідовність компонентів {\displaystyle U_{0}\supset U_{1}\supset U_{2}\dots }{\displaystyle U_{0}\supset U_{1}\supset U_{2}\dots } доповнень компактних множин. Це визначення не залежить від вибору компактів: кінці, які визначаються одним таким вибором можуть бути розміщені у взаємно-однозначній відповідності з кінцями, визначеними будь-яким іншим вибором.

Нескінченний граф G може бути побудований у топологічному просторі в двома різними, але пов'язаними способами:

Заміна кожної вершини графа на точку і кожного ребра графа на відкритий одиничний інтервал породжує Гаусдорфів простір з графом, в якому множина S визначає, що буде відкритим, коли кожен перетин S з ребром графа є відкрите підмножина одиничного інтервалу. Заміна кожної вершини графа точкою і кожного ребра графа точкою робить простір нехаусдорфовим, в якому відкриті множини є множини S з тією властивістю, що, якщо вершина v з G належить S, то належить й кожне ребро, що має v як один з його кінців. У будь-якому випадку, кожний скінченний підграф відповідає компактним підпросторам топологічного простору, і кожен компактний підпростір відповідає скінченному підграфу разом з, в разі Хаусдорфого простора, скінченним числом компактних власних підмножин ребер. Таким чином, граф може бути покритий вкладеною послідовністю компактів тоді і тільки тоді, коли вона локально скінченна, тобто граф має скінченне число ребер в кожній вершині.

Якщо граф G зв'язний і локально скінченний, то він має компактне покриття, в якому множина κi це множина вершин, що знаходяться на відстані не більше i від деякої довільно обраної вихідної вершини. У цьому випадку будь-яке сховище β визначає кінець топологічного простору, в якому {\displaystyle U_{i}=\beta (\kappa _{i})}{\displaystyle U_{i}=\beta (\kappa _{i})}. І навпаки, якщо {\displaystyle U_{0}\supset U_{1}\supset U_{2}\dots }{\displaystyle U_{0}\supset U_{1}\supset U_{2}\dots } є кінцем топологічного простору, утвореного із G, він визначає сховище, в якому β (X) є компонент, який містить Ui, де i будь-яке число, таке, що κi містить X. Таким чином, для зв'язних і локально скінченних графів, топологічні кінці знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з кінцями графів.[6]

Для графів, які не можуть бути локально-скінченними, можна визначити топологічний простір з графа та його кінців. Цей простір може бути представлений як метричний простір тоді і тільки тоді, коли граф має нормальне кістякове дерево — коренева остова така, що кожне ребро графу з'єднує пару предок-нащадок. Якщо нормальний остов існує, то він має той же набір кінців, що й даний граф: кожен кінець графа повинен містити рівно один нескінченний шлях в дереві.[7]

Ілюстрації