Арихметика

Арихме́тика, -ки, ж. Ариѳметика. Арихметикою або щотницею зветься така наука, що навчає без помилок щитати (лічити). Кон. Ар. 1. Ум. Арихметичка. Арихметичка трудна мені здалася. Г. Барв. 403.

Зміст

1 Сучасні словники
2 Іноземні словники
- 2.1 Словари и энциклопедии на Академике
3 Історична довідка
4 Фундаментальне значення
5 Ілюстрації
6 Медіа
7 Цікаві факти
- 7.1 Арифметика
8 Див. також
9 Джерела та література
10 Зовнішні посилання

Сучасні словники

Арифметика (греч. arithmetika, від arithmys — число), наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілих позитивних) числа і (раціональних) дробах, і діях над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа і уміння виробляти дії з числами необхідні для практичної і культурної діяльності людини. Тому А. є елементом дошкільного виховання дітей і обов'язковим предметом шкільної програми. За допомогою натуральних чисел конструюються багато математичних понять (наприклад, основне поняття математичного аналізу — дійсне число). У зв'язку з цим А. є одній з основних математичних наук. Коли робиться упор на логічний аналіз поняття числа, то інколи використовують термін теоретична арифметика. А. тісно пов'язана з алгеброю, в якій, зокрема, вивчаються дії над числами без врахування їх індивідуальних властивостей. Індивідуальні властивості цілих чисел складають предмет чисел теорії .

Словник української мови Академічний тлумачний словник (1970—1980)

АРИФМЕ́ТИКА, и, жін. 1. Розділ математики, що вивчає найпростіші властивості чисел і дії над ними. — То це й мені треба доконечно сідати за граматику та арифметику? — крикнула Настуся (Нечуй-Левицький, IV, 1956, 266); Зінаїда Федорівна викликала його відповідати урок з арифметики (Олесь Донченко, V, 1957, 445). 2. розм., іноді ірон. Рахунок. Ось уже двадцять років, як я з ними в одній школі.. А й до мене Ганна Антонівна дітей вчили, — років знову двадцять ще до мене. Арифметика чимала — сорок років, як однісінький день (Юрій Яновський, I, 1958, 240).

Словник української мови за редакцією Б.Д.Грінченка

Арихме́тика, -ки, ж. Ариѳметика. Арихметикою або щотницею зветься така наука, що навчає без помилок щитати (лічити). Кон. Ар. 1. Ум. Арихме́тичка. Арихметичка трудна мені здалася. Г. Барв. 403.

УКРЛІТ.ORG_Cловник

Арихме́тика, ки, ж. Ариѳметика. Арихметикою або щотницею зветься така наука, що навчає без помилок щитати (лічити). Кон. Ар. 1. Ум. Арихме́тичка. Арихметичка трудна мені здалася. Г. Барв. 403.

Іноземні словники

Словари и энциклопедии на Академике

арифметика -и, ж. 1) Розділ математики, що вивчає найпростіші властивості чисел і дії над ними. 2) розм., перен. Підрахунок; результат якого-небудь підрахунку. 3) звичайно чого. Те, що (на відміну від чого-небудь складнішого) містить у собі незначні труднощі для розуміння, здійснення, втілення в життя чого-небудь і т. ін. (порівн. алгебра у 2 знач.). Великий тлумачний словник сучасної української мови. - "Перун". 2005.

АРИФМЕТИКА это: (от греч. arithmos - число, и toche - искусство). Наука, имеющая своим предметом числа. Словарь иностранных слов

АРИФМЕТИКА от греч. arithmos, число, и techne, искусство. Наука о числах. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.- Михельсон А.Д., 1865. АРИФМЕТИКА часть математики, кот. занимается изучением чисел, выраженных цифрами и действиями над ними. Изобр. а. приписывают египтянам. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Павленков Ф., 1907. АРИФМЕТИКА часть математики, учение о числах и о действиях над ними. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке.- Попов М., 1907.

Арифме́тика (гр. arithmetike arithmos число) часть математики, изучающая простейшие свойства чисел, прежде всего - целых чисел и дробей, а также свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, производимых над числами. Новый словарь иностранных слов.- by EdwART, , 2009.

Арифметики, мн. нет, ж. [греч. arithmetike]. Учение о числах, выражаемых цифрами, и действиях над ними. Большой словарь иностранных слов.- Издательство «ИДДК», 2007. арифметика и, мн. нет, ж. (нем. Arithmetik < греч. arithmētikē < arithmos число). 1. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, выраженных цифрами, и действия над ними. Арифметический — относящийся к арифметике. || Ср. алгебра, геометрия, топология, тригонометрия. 2. перен. разг. То, что подсчитано, итог. Подсчитали результаты — неважная получилась а. Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык, 1998.

АРИФМЕТИКА жен., греч. учение о счете, наука о счислении; основа всей математики (науки о величинах, о измеримом); ·стар. счетная или цифирная мудрость; счет, счисление, цифирная сметка, выкладка. Арифметичный, арифметический, к ней относящийся. Арифметик, в народе арифметчик муж. сведущий в науке этой, счетчик, счислитель, выкладчик, цифирщик, сметчик. Общая арифметика, алгебра, счисление буквами и другими знаками, со вставкою цифр в окончательный вывод; прикладная арифметика, именованные числа, приложение счета к делу, когда сочетаются не отвлеченные (безыменные) цифры, а деньги, мера, вес и пр.> Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863-1866.

Арифметика-цифирное дело, цифирная наука, цифирь, подсчет Словарь русских синонимов.

Арифметика цифирь (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. — М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011.

Арифметика сущ., кол-во синонимов: 5 • математика (29) • подсчет (12) • цифирная наука (2) • цифирное дело (1) • цифирь (7) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013.

Арифметика (от греч. слов ariJmoV - число и tecnh - искусство) -часть математики, которая занимается изучением свойств определенныхконкретных величин; в более тесном смысле А. есть наука о числах,выраженных цифрами, и занимается действиями над числами. А. можно делитьна низшую и высшую, понимая под первой четыре основных действия с целымии дробными числами и их практические применения, учение о пропорциях,возвышение в степень, извлечение квадратных и кубичных корней и решениечисленных уравнений, между тем как высшая А. занимается исследованиемсвойств чисел вообще, деления целых чисел на части, непрерывных дробей ипр. - А. находится в тесной, неразрывной связи с алгеброй, которуюНьютон называл "Общей арифметикой"; вот почему действия - возвышение встепени, извлечение корней и решения численных уравнений, относящиесясобственно к алгебре, должны войти в состав А., рассматривая последнююкак техническую часть алгебры. Рассматривая возвышение в степень, какчастный случай умножения и принимая во внимание, что при извлечениикорней и решении численных уравнений мы производим какое-либо из четырехосновных действий, некоторые математики силились ограничить А. лишьосновными действиями, а именно: сложения, вычитания, умножения иделения, но подобное ограничение несправедливо, так как тривторостепенных действия А. производятся в известном порядке, которыйсоставляет существенную часть каждого действия. Многие писателизатруднялись разграничением алгебры от А.; так как первая занимаетсятеми же действиями, что и вторая. Приняв однако в соображение, чтоалгебра доказывает те правила, которыми А. руководствуется, и чтоалгебра имеет предметом преобразование действий одних в другие так,чтобы А. оставалось лишь исполнение самых простейших действий, можнотаким образом утверждать, что алгебра есть обобщенная А., которая, всвою очередь, есть наука о числах и свойствах вполне определенныхвеличин. История А. Трудно сказать что-либо положительное о времени и местерождения А. Многочисленные исследователи этого вопроса приписываютоткрытие истин А. различным народностям и приурочивают его к разнымэпохам. Историк Иосиф Флавий ("Древняя иудея", кн. I, гл. 8) утверждает,что еще праотец Авраам, в пребывании своем в Египте, во время голода,постигшего Ханаанскую землю, первый обучил египтян арифметике иастрономии. Платон (in Phaedro)и Диоген Лаэрций (in Proemio) тожесчитают Египет колыбелью А. и геометрии. Они говорят, что числа,числительное искусство и геометрия ниспосланы египтянам от их бога Тевта(Theut) или Тота (Thot), владевшего торговлей и числами, подобногреческому Меркурию. Другие, более позднейшие, исследователи полагают,что А. открыта халдейцами, а Страбон в своей "Географии", говорит, чтосовременники его приписывали изобретение А. финикиянам, так как онипервые стали производить обширную торговлю, которая, без сомнения,требовала некоторых познаний в счетной науке. Оставляя однако в сторонеподобные догадки, достоверным можно принять относительно историческогопроисхождения А., что люди начали считать с того самого отдаленноговремени, когда, приходя во взаимное столкновение между собою, они сталигруппироваться в общества, ибо, без сомнения, они знали число членовсвоих семейств, считали свои стада и т. п. Таким образом, начало А.должно отнести к эпохе первого проявления гражданского строя средилюдей; что же касается усовершенствования первобытных понятий осчислении, то они должны быть отнесены к гораздо позднейшим временам.Первыми историческими математиками, сознательно излагавшими А., какнауку, должны быть признаны древние греки, а именно: Евклид (7 - 10книги его "Элементов"), Диофант - математик IV ст. до Р. Х. (оставил посебе 13 трактатов, из которых до нас дошло 6) и Никомах, живший в I векедо Р. Х. В их сочинениях мы встречаемся с двумя различными терминами:Logistikh - логистика, так наз. "числительное искусство" и ariJmhtekh -арифметика - наука о свойствах чисел; очевидно, что древние грекиразличали особенными именами практическую часть А. от теоретической.Греки, обогатив А., заимствованную ими, вероятно, от египтян, передалиее через Александрийскую школу римлянам и арабам, от которых онаначинает проникать повсюду лишь в эпоху Возрождения. Открытиекнигопечатания оказало немаловажную услугу распространениюпервоначальных истин А. Насколько медленно проникали во всеобщеесознание эти истины до эпохи Возрождения, видно из того факта, что дажеу арабов, ревностных носителей "математический цивилизации", всякийзнавший едва четыре основных действия А., считался ученым математиком;при всем том число подобных ученых было весьма ограничено. С открытиякнигопечатания стали чаще появляться монографии и трактаты по А.,которые хотя не вносили ничего нового в А., унаследованную от арабов игреков, но вместе с тем получался толчок к усовершенствованию древнихметодов. В 1478 г. была напечатана в С.-Альбанс одно из выдающихсясочинений по А., под заглавием: "Rhetorica nova Gulielmi de Saona", вкотором с особой ясностью изложены простейшие действия А. или"Алгоризма", как еще называли греки А-у. почти одновременно, в 1484году, вышло прекрасное сочинение итальянца Лукаса де Бурго: "Summa deArithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita", в котором А.посвящен длинный обзор состояния этой науки до конца XV-го столетия., Сначала XVI-го века появляются все чаще мемуары по А., обогащенные новымисведениями, сравнительно с арабскими и унаследованными от Диофанта. Так,в 1686 г. вводятся десятичные дроби Симоном Стевином - весьмасущественное прибавление к так называемому Алгоризму. Голландец АльбертЖирар почти одновременно распространяет наше письменное счисление надесятичные дроби, а англичанин Райт (Wright) в 1616 г. заключил даже вскобки сложные знаки; в следующем же году, знаменитый Непер (Napier)доводить знакоположение А. до нынешнего ее состояния. Одной из самых интересных страниц истории А. должно признать вопрос осчислении. Сведения, собранные различными исследователями этого важноговопроса, сводятся к тому заключению, что почти у всех народов, споконвеков, была принята система десятеричного счисления. Джордж Пикок(Peacock) проф. кембриджского универ., приводит в своей статье об А. для"Encyclopedia metropolitana of pure mathematics" прекрасные данные осистемах счисления даже у диких племен, и там мы встречаем десятьразличных слов у каждого наречия, которые служат основанием счисления.Объяснения подобного совпадения систем должно искать в факте наличностидесяти пальцев у человека, который, на первых ступенях своего развития,естественно, прибегал к своим пальцам для выражения числа. Письменноесчисление десятью цифрами получило свое начало, как надо полагать, наВостоке, а именно: у индусов, которые передали свое искусство дляусовершенствования арабам, изучившим творения греков по "числительномуискусству". Вполне достоверно, на основании дошедших до нас памятников,что арабы еще в конце X века совершенно понимали употребление 10 цифр ине могли не сообщить своего знания всем народам, с которыми имелисношения. В начале XI века мавры, овладевшие Испанией, прилежнозанимались там математикой и особенно "Логистикой" греков и послужили,таким образом, впоследствии такими же наставниками по математике дляхристианского мира, как египтяне для греков. С появлением цифр впереводе Птолемеева "Алмагеста", изданном в Испании в 1136 г., индийское(так назыв. ныне арабское) знакоположение делается употребительнейшиммежду учеными. В общежитии, однако, римские цифры господствовали дополовины XV в., когда наступает некоторым образом эпоха смешения римскихи арабских знаков; малопомалу римские знаки уступают место арабским,среди ученых, благодаря которым арабские и делаются всеобщим достоянием.Понятно, что весьма трудно проследить весь процесс преобразования нашегосчисления; прибавим поэтому только, что А. достигла настоящей степенисовершенства лишь благодаря гениальным трудам корифеев математикипоследних двух столетий; достаточно упомянуть имена Ньютона, Лейбница,Валлиса, Эйлера и др., чтобы представить себе, сколько трудов былопотрачено, пока А. достигла той степени изящества и простоты, на которуюона возведена в настоящее время. Не безынтересно будет упомянуть, как постепенно распространялась А. внашем отечестве. Карамзин полагает ("История Госуд. Рос. ", т. X, стр.259), что первая русская А. появилась в исходе XVI ст., под следующимназванием: "Книга, рекома по-гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма,а по-русски - Цифирная счетная мудрость". В предисловии к этомусочинению, между прочим, сказано: "Сир, сын Амноров, муж мудр бысть; сийже написал численную сию философию финическими письмены, яко же онмудрый глаголет, яко безплотна сущи начала, телеса же преминующая... Безсея книги ни един философ, ни дохтур не может быти; а кто сию мудростьзнает, может быть у государя в великой чти и в жалованьи; по сеймудрости гости по государствам торгуют и во всяких товарах и в торгахсилу знают, и во всяких весех и в мерах и в земном верстании и в морскомтечении зело искусны и счет из всякого числа перечню знают". Этовитиеватое предисловие наглядно показывает, что ничего систематическогонельзя ожидать от подобного арифметического курса. Действительно, мы тутимеем дело с обрывочными сведениями о 4-х первоначальных действиях,трактованных еще по древнему методу греков; при этом мы находим такжеримские цифры, а не арабские. С арабскими цифрами А. была впервыесочинена и опубликована у нас учителем математики на Сухаревой башне (вМоскве) Леонтием Магницким, в 1703 г. По мнению другого исследователярусской старины Голикова (см. "Дополнения к деяниям", кн. V, стр. 78),Петр Великий привез в 1698 г. из Лондона многих ученых морских офицеров,в числе коих был Фергарсон, который будто ввел впервые в России арабскиецифры. Бесспорно, что со времени великого преобразователя России А.,наравне с другими науками, получает свое направление с Запада исовершенствуется, сообразно состоянию А. у наших соседей. Благодаря жетрудам знаменитого Эйлера, бывшего академиком нашей академии наук, ицелой плеяды славных его учеников, А. вместе с алгеброй получаютсамостоятельное направление и, независимо от иностранных математиков,движутся быстрыми шагами вперед, дойдя до той формы, которую А.сохранила до настоящего времени. Мы ограничились лишь кратким обзоромистории А., отсылая читателя за подробностями к соответствующим статьям,составляющим содержание А., и к специальным сочинениям, перечисленнымнами ниже. Содержание А. Низшая А. К этому отделу причисляют обыкновенно: четыреосновных действия с целыми и дробными числами, учение об отношениях ипропорциях, тройное правило и основанные на нем: проценты, учет векселейи правила - цепное, товарищества и смешения. К высшей А. относятисследование свойств чисел вообще и деление целых чисел на части. Крометого, различают еще практическую А. от теоретической, что подходит подделение А. на низшую и высшую. Надо еще упомянуть о так называемойполитической А., под которой понимают применение общей А. к вычислениюрент, лотерей, эмеритур и пр., хотя все эти вопросы основаны,собственно, на теории вероятностей. Литература А. Евклида, "Elementa" - около конца IV стол.; Диофанта,"Arithmetica" (III в.); Никомаха, "Theologumena Arithmetices" (I в. доР. Х.); Боэций (VI ст. после Р. Х.); Сакро-Боско (1226), "Algorithmusseu Arithmeticaein troductio" (изд. в Венеции 1623); Иордан Немогарий(1524, напечатано готическим шрифтом); Стифелия, "Arithmetica Integra"(1544); Бернард Солиньяк (Solignac) (1580); Адам Риз (Reesse, 1610);ПетрАпианий (1627); Альберт Жирар (1629); Валлиса, "Arithmetica infinitorum"(1655);Ньютона, "Opera" (1666); Лейбница, "Opera" (1677); Паппа,"Collectanea Маthematica"; Лесли, "Philosophy of Mathematics"; Эйлер,Абель, Лагранж, Де-Моавр, Гаусс, Коши и др. Учебники на русском языке,Малинин и Буренин, Буссе, Леве и мн. др. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

АРИФМЕТИКА (от греческого arithmos - число), часть математики, изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практических потребностей счета, измерения расстояний, времени и др. Совершенствование методов вычислений привело к различным способам обозначения чисел (смотри, например, арабские цифры, римские цифры) и правил действия над ними. Усложнение и расширение круга задач арифметики потребовало и развития понятия числа (например, понятия рациональных и иррациональных чисел). Достижения арифметики легли в основу алгебры и теории чисел. Современная энциклопедия. 2000.

АРИФМЕТИКА, способ расчета при помощи сложения, вычитания, умножения и деления. Формальную аксиоматическую базу под эти операции подвел Джузеппе Пеано в конце XIX в. Исходя из некоторых постулатов, например, о том, что имеется лишь одно натуральное число единица, можно дать формальное определение множеству натуральных чисел и арифметическим операциям. Умножение можно представить как многократное сложение; вычитание и деление определяются как обратные операции к сложению и умножению. Эти же операции можно распространить на отрицательные, рациональные и иррациональные ЧИСЛА. см. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД. Научно-технический энциклопедический словарь.

Історична довідка

Виникнувши в глибокій старовині з практичних потреб рахунку і простих вимірів, А. розвивалася у зв'язку з ускладненням господарської діяльності і соціальних стосунків, грошовими розрахунками, завданнями вимірів відстаней, часу, площ і вимогами, які пред'являли до неї інші науки.

Про виникнення рахунку і про початкові стадії утворення арифметичних понять судять зазвичай за спостереженнями, що відносяться до процесу рахунку у первісних народів, і, непрямим чином, шляхом вивчення слідів аналогічних стадій, що збереглися в мовах культурних народів і що спостерігаються при засвоєнні цих понять дітьми. Ці дані говорять про те, що розвиток тих елементів розумової діяльності, які лежать в основі процесу рахунку, проходіт ряд проміжних етапів. До них відносяться: уміння взнавати один і той же предмет і розрізняти предмети в тій, що підлягає рахунку сукупності предметів; уміння встановлювати вичерпне розкладання цієї сукупності на елементи, відмітні один від одного і в той же час рівноправні при рахунку (користування іменованою «одиницею» рахунку); уміння встановлювати відповідність між елементами двох безлічі, спочатку безпосередньо, а потім зіставленням їх з елементами разів назавжди впорядкованої сукупності об'єктів, тобто сукупності об'єктів, розташованих в певній послідовності. Елементами такої стандартної впорядкованої сукупності стають слова (числівники), що вживані при рахунку предметів будь-якої якісної природи і відповідають утворенню відвернутого поняття числа. За самих різних умов можна спостерігати схожі особливості поступового виникнення і удосконалення перерахованих навиків і що відповідають їм арифметичних понять.

Спочатку рахунок виявляється можливим лише для совокупностей з порівняно невеликого числа предметів, за межами якого кількісні відмінності усвідомлюються смутно і характеризуються словами, синонімами слова «багато», що є; при цьому знаряддям рахунку служать карби на дереві (рахунок «бирки»), рахункові камінчики, чотки, пальці рук і т.п., а також безліч, що укладає постійне число елементів, наприклад: «очі» — як синонім чисельник «два», гроно руки («пясть») — як синонім і фактична основа числівника «п'ять», і т.п.

Словесний порядковий рахунок (раз, два, три і т.д.), пряму залежність якого від пальцьового рахунку (послідовне вимовлення назв пальців, частин рук) в деяких випадках можна прослідити безпосередньо, зв'язується надалі з рахунком груп, що містять певне число предметів. Це число утворює підстава відповідної системи числення, зазвичай, в результаті рахунку по пальцях двох рук, рівне 10. Зустрічаються, проте, і угрупування по 5, по 20 (французьке 80 «quatre-vingt» = 4 ´ 20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 і навіть по 11 (Нова Зеландія). У епоху розвинених торгівельних стосунків способи нумерації (як усною, так і письмовою) природно виявляли тенденцію до одноманітності в племен, що спілкувалися між собою, і народностей; ця обставина зіграла вирішальну роль у встановленні і поширенні вживаною в наст. час системи нумерації ( числення ), принципу маєткового (порозрядного) значення цифр і способів виконання арифметичних дій. Мабуть, аналогічними причинами пояснюється і загальновідома схожість імен числівників в різних мовах: наприклад, два — dva (санськр.), duo (греч.), duo (лат.), two (англ.).

Джерелом перших достовірних відомостей про стан арифметичних знань в епоху древніх цивілізацій є письмові документи Ін.(Древн) Єгипту ( папіруси математичні ), написані приблизно за 2 тис. років до н. е.(наша ера) Це — збірки завдань з вказівкою їх рішень, правил дій над цілими числами і дробами з допоміжними таблицями, без яких би то не було пояснень теоретичного характеру. Вирішення деяких завдань в цій збірці виробляється, по суті, за допомогою складання і вирішення рівнянь; зустрічаються також арифметичні і геометричні прогресії.

Про досить високий рівень арифметичної культури вавілонян за 2—3 тис. років до н. е.(наша ера) дозволяють судити клинописні математичні тексти . Письмова нумерація вавілонян в клинописних текстах є своєрідним з'єднанням десяткової системи (для чисел, менших 60) з шестідесятірічной, з розрядними одиницями 60, 60 2 і т.д. Найбільш істотним показником високого рівня А. є вживання шестідесятірічних дробів з поширенням на них тієї ж системи нумерації, аналогічно сучасним десятковим дробам. Техніка виконання арифметичних дій у вавілонян, в теоретичному відношенні аналогічна звичайним прийомам в десятковій системі, ускладнювалася необхідністю удаватися до обширних таблиць множення (для чисел від 1 до 59). У клинописних матеріалах, що збереглися, були, мабуть, навчальні посібники, знаходяться, крім того, і відповідні таблиці зворотних чисел (двозначні і тризначні, тобто з точністю до 1 / 60 2 і 1 / 60 3 ), що застосовувалися при діленні.

У древніх греків практична сторона А. не отримала подальшого розвитку; система письмової нумерації, що застосовувалася ними, за допомогою букв алфавіту була значно менш пристосована для виробництва складних обчислень, ніж вавілонська (показово, зокрема, що старогрецькі астрономи вважали за краще користуватися шестідесятірічной системою). З іншого боку, старогрецькі математики поклали початок теоретичній розробці А. у частині, що стосувалася вчення про натуральні числа, теорію пропорцій, виміри величин і — в неявній формі — також і теорії ірраціональних чисел. У «Початках» Евкліда (3 ст до н.е.(наша ера)) є ті, що зберегли своє значення і до цих пір доказ нескінченності числа простих чисел, основні теореми про подільності, алгоритми для знаходження загальної міри двох відрізань і загального найбільшого дільника двох чисел (див. Евкліда алгоритм ), доказ неіснування раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2 (ірраціональність числа ), і викладена в геометричній формі теорія пропорцій. До теоретіко-числовіх завдань, що розглядалися, відносяться завдання про досконалих числах (Евклід), про піфагорових числах, а також — вже в пізнішу епоху — алгоритм для виділення простих чисел ( Ератосфену решето ) і вирішення ряду невизначених рівнянь 2-ої і вищих мір (Діофант).

Істотну роль в утворенні поняття безконечного натурального ряду чисел зіграв «Псамміт» Архімеда (3 ст до н.е.(наша ера)), в якому доводиться можливість іменувати і позначати скільки завгодно великі числа. Вигадування Архімеда свідчать про досить високе мистецтво в набутті наближених значень шуканих величин: витягання кореня з багатозначних чисел, знаходження раціональних наближень для ірраціональних чисел, наприклад

Римляни не просунули вперед техніку обчислень, залишивши, проте, систему нумерації ( римські цифри ), що дійшла до нашого часу, мало пристосовану для виробництва дій і вживану в даний час майже виключно для позначення порядкових чисел.

Важко прослідити спадкоємність в розвитку математики відносно попередніх, більш древніх, культур; проте надзвичайно важливі етапи у розвитку А. зв'язуються з культурою Індії, що зробила вплив як на країни Передньої Азії і Європи, так і на країни Вост. Азії (Китай, Японія). Окрім застосування алгебри до вирішення завдань арифметичного вмісту, найбільш істотна заслуга індійців — введення позиційної системи числення (із застосуванням десяти цифр, включаючи нуль для позначення відсутності одиниць в якому-небудь з розрядів), можливої, що зробила, розробку порівняно простих правил виконання основних арифметичних дій.

Учені середньовічного Сходу не лише зберегли в переведеннях спадщину старогрецьких математиків, але і сприяли поширенню і подальшому розвитку досягнень індійців. Методи виконання арифметичних дій, в значній частині ще далекі від сучасних, але вже використовуючі переваги позиційної системи числення, з 10 ст н.е.(наша ера) стали поступово проникати до Європи, раніше всього до Італії і Іспанію.

Порівняно повільний прогрес А. в середні віки змінялося до початку 17 ст швидким удосконаленням прийомів обчислення у зв'язку із збільшеними практичними запитами до техніки обчислень (завдання мореплавної астрономії, механіки, комерційні розрахунки і , що ускладнилися;т.п.). Дроби із знаменником 10, що уживалися ще індійцями (при витяганні квадратного коріння) і що неодноразово звертали на себе увагу і європейських учених застосовувалися спочатку в неявній формі в тригонометричних таблицях (у формі цілих чисел, що виражають довжини ліній синуса, тангенса і т.д. при радіусі, прийнятому за 10 5 ). Вперше (1427) детально описав систему десяткових дробів і правила дій над ними аль- Каші . Запис десяткових дробів, по суті співпадаючий з сучасною, зустрічається у вигадуваннях С. Стевіна в 1585 і з того часу набуває повсюдного поширення. До тієї ж епохи відноситься винахід логарифмів на початку 17 ст Дж. Непером . На початку 18 ст прийоми виконання і запису обчислень набувають сучасної форми.

В Росії до початку 17 ст застосовувалася нумерація, схожа з грецькою; добре і своєрідно була розроблена система усної нумерації, що доходила до 50-го розряду. З російського арифметичного керівництва почала 18 ст найбільше значення мала високо оцінена М. В. Ломоносовим «Арифметика» Л. Ф. Магніцкого (1703). У ній міститься наступне визначення А.: «Арифметики або числітельніца, є мистецтво чесне, незаздрісне, і всім легкозрозуміле, багатокорисне, і многохвальнейшєє, від прадавніх же і новітніх, в різні часи ізряднейших арифметик, що жили, винайдене, і викладене». Поряд з питаннями нумерації, викладом техніки обчислення з цілими числами і дробами (в т.ч. і десятковими) і відповідними завданнями в цьому керівництві містяться і елементи алгебри, геометрія і тригонометрії, а також ряд практичних відомостей, що відносяться до комерційних розрахунків і завдань навігації. Виклад А. набуває вже більш менш сучасного вигляду в Л. Ейлера і його учнів.

Теоретичні питання арифметики. Теоретична розробка питань, що стосуються вчення про число і вчення про вимір величин, не може бути відірвана від розвитку математики в цілому: вирішальні етапи її пов'язані з моментами, що визначали в рівній мірі і розвиток алгебри, геометрії і аналізу. Найбільш важливим треба рахувати створення загального учення про величинах, відповідного абстрактного учення про числі (цілому, раціональному і ірраціональному) і буквеного апарату алгебри.

Фундаментальне значення

А. як науки, достатньої для вивчення безперервних величин різного роду, було усвідомлено лише до кінця 17 ст у зв'язку з включенням в А. поняття ірраціонального числа, визначуваного послідовністю раціональних наближень. Важливу роль при цьому зіграли апарат десяткових дробів і вживання логарифмів, що розширили область здійснюваних з необхідною точністю операцій над дійсними числами (ірраціональними нарівні з раціональними).

І. Ньютон, що вперше висловив загальне визначення числа як стосунки два значень якої-небудь величини, все ще уникав, проте, записувати знайдені ним закони у вигляді формул, що виражають значення однієї з величин через значення інших, неоднорідних з нею, і вважав за краще додавати такого роду співвідношенням форму пропорцій. Наприклад, у 1 /у 2 = x 2 /x 2 замість відповідної формули

Сучасна точка зору згідно якої всі букви у формулах означають просто числа і дії виробляються над числами, рівноправними між собою, незалежно від їх конкретного походження, ще і зараз в елементарному викладанні інколи усвідомлюється не достатньою мірою (це позначається в найменуваннях при записі дій, в надлишковій обережності при визначенні похідних фіз.(фізичний) величин і т.п.).

Аксіоматичне побудова арифметики. Початок наступного етапу — аксіоматичних побудова А. — відноситься вже до 19 ст і пов'язано із загальним процесом того, що критичного передивляється логічних основ математики, в якому найважливішу роль зіграли, зокрема, роботи Н. І. Лобачевського по геометрії. Сама простота і очевидна безперечність початкових положень А. утрудняли виділення основних положень — аксіом і визначень, які могли б служити вихідним пунктом побудови теорії. Перші натяки на можливість такої побудови є вже в доказі співвідношення 2 ´ 2= 4, даному Р. Лейбніцом (див. нижчий).

Лише в сірок.(середина) 19 ст Р. Грасману удалося вибрати систему основних аксіом, що визначають дії складання і множення так, щоб останні положення А. витікали з неї як логічне слідство. Якщо мати на увазі натуральний ряд чисел, починаючи від 1, і визначити 2 як 1+1, 3 як 2+1, 4 як 3+1 і т.д., то одного загального положення а +( b + 1) = ( а + b )+ 1, що приймається як аксіома або визначення складання, виявляється досить для того, щоб не лише вивести формули приватного типа, як, наприклад, 3+2 = 5, але, користуючись методом математичній індукції, довести і загальні властивості складання, вірні для будь-яких натуральних чисел, — переместітельний і сполучний закони. Подібну ж роль для множення грають формули а· 1 = а і а ( b + 1) = ab + а . Так, згаданий вище доказ співвідношення 2·2 = 4 можна представити у вигляді ланцюжка рівності, витікаючого з приведених тут формул і визначення чисел 2, 3 і 4, саме: 2·2 = 2(1 + 1)= 2·1 + 2·1 = 2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Після доказу переместітельного (див. Комутативність ), сполучного (див. Асоціативність ) і розподільного (див. Дистрибутивність ) (по відношенню до складання) законів дії множення подальша побудова теорії арифметичних дій над натуральними числами не представляє вже принципової скрути. Якщо залишатися на тому ж рівні абстракції, то дробові числа доводиться вводити як пари цілих чисел (чисельник і знаменник), підлеглі певним законам порівняння і дій (див. Дріб ).

Побудова Грасмана була завершена надалі роботами Дж. Пеано, в яких виразно виділена система основних (не визначуваних через інші поняття) понять, саме: поняття натурального числа, поняття дотримання одного числа безпосередньо за іншим в натуральному ряду і поняття початкового члена натурального ряду (за який можна прийняти 0 або 1). Ці поняття зв'язані між собою п'ятьма аксіомами, які можна розглядати як аксіоматичне визначення вказаних основних понять.

Аксіоми Пеано: 1) 1 є натуральне число; 2) наступне за натуральним числом є натуральне число; 3) 1 не слідує ні за яким натуральним числом; 4) якщо натуральне число а слідує за натуральним числом b і за натуральним числом з , то b і з тотожні; 5) якщо яка-небудь пропозиція доведена для 1 і якщо з допущення, що воно вірне для натурального числа n , витікає, що воно вірне для наступного за п натурального числа, то ця пропозиція вірна для всіх натуральних чисел. Ця аксіома — аксіома повної індукції — дає можливість надалі користуватися грасмановськимі визначеннями дій і доводити загальні властивості натуральних чисел.

Ці побудови, що дають рішення задачі обгрунтування формальних положень А., залишають осторонь питання про логічну структуру А. натуральних чисел в ширшому сенсі слова, з включенням тих операцій, які визначають собою додатки А. як в рамках самої математики, так і в практичному житті. Аналіз цієї сторони питання, з'ясувавши вміст поняття кількісного числа, в той же час показав, що питання про обгрунтування А. тісно пов'язаний із загальнішими принциповими проблемами методологічного аналізу математичних дисциплін. Якщо прості пропозиції А., що відносяться до елементарного рахунку об'єктів і є узагальненням багатовікового досвіду людства, природно укладаються в простих логічної схеми, то А. як математична дисципліна, що вивчає безконечну сукупність натуральних чисел, вимагає дослідження несуперечності відповідної системи аксіом і детальнішого аналізу сенсу витікаючих з неї загальних пропозицій.