Тригонометри́чні фу́нкції

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь. Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями. синус (sin α) косинус (cos α) тангенс (tg α = sin α / cos α) котангенс (ctg α = cos α / sin α) секанс (sec α = 1 / cos α) косеканс (cosec α = 1 / sin α) Зміст [сховати] 1 Означення 1.1 Геометричне визначення 2 Основні співвідношення 3 Теореми додавання та формули для кратних кутів 3.1 Формули для функцій суми кутів 3.2 Формули для функцій подвійних кутів 3.3 Формули для функцій потрійних кутів 3.4 Формули для функцій половинних кутів 3.5 Формули для суми функцій кута 3.6 Загальні формули для функцій кратних кутів 4 Загальні формули для степенів функцій 5 Розклади в ряд Тейлора 5.1 Зв'язок з експонентою та комплексними числами 6 Диференціювання та інтегрування 7 Зв'язок з диференціальним рівнянням 8 Джерела 9 Див. також 10 Посилання Означення[ред. • ред. код] Геометричне визначення[ред. • ред. код]

Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.

Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі. Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник. Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи: \cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},Наталія Ігорівна (обговорення)\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~. Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи: \sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},Наталія Ігорівна (обговорення)\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~. Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета: \mbox{tg}~ \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},Наталія Ігорівна (обговорення)\mbox{tg}~ \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~. Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета: \mbox{ctg}~ \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},Наталія Ігорівна (обговорення)\mbox{ctg}~ \beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~. Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.

Один період функцій sin(x) та cos(x) \sin\, x та \cos\, x це періодичні функції із періодом \ 2 \pi, \operatorname{tg}\, x та \operatorname{ctg}\, x мають період \ \pi. Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу [0,{\pi \over 2}] \sin x = \cos \left({\pi \over 2} -x\right) \cos x = \sin \left({\pi \over 2} -x\right) \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} \left({\pi \over 2} -x\right) \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} \left({\pi \over 2} -x\right) Основні співвідношення[ред. • ред. код] Докладніше: Список тригонометричних тотожностей Trigonometric functions.svg Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора: ~\sin^2 x + \cos^2 x = 1 Теореми додавання та формули для кратних кутів[ред. • ред. код] Формули для функцій суми кутів[ред. • ред. код] Із основного співвідношення \sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta отримуємо \sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta, \cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta, \operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },Наталія Ігорівна (обговорення) \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} } Формули для функцій подвійних кутів[ред. • ред. код] \sin {2 \alpha} = 2 \sin \alpha \cos \alpha \cos {2 \alpha } = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha \operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,Наталія Ігорівна (обговорення)\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) } Формули для функцій потрійних кутів[ред. • ред. код] \sin {3 \alpha } = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,Наталія Ігорівна (обговорення)\cos {3 \alpha} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha Формули для функцій половинних кутів[ред. • ред. код] \sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,Наталія Ігорівна (обговорення)\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2} \operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,Наталія Ігорівна (обговорення) \operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha} Формули для суми функцій кута[ред. • ред. код] a \sin A + b \cos B = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right),~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~ {tg B = {b \over a} } \sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2} \cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2} \cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2} \operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~ \operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}} Загальні формули для функцій кратних кутів[ред. • ред. код] Якщо n є цілим додатнім числом, то \sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots \cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots Загальні формули для степенів функцій[ред. • ред. код] Якщо n є цілим непарним числом, то \sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} } \left [

           \sin {n x} 
           - 
           {n \choose 1}
           \sin {(n-2)  x}
           +
           {n \choose 2}
           \sin {(n - 4)  x}
           -
           {n \choose 3}
           \sin {(n - 6)  x}
           + \cdots +
           (-1)^{{n-1} \over 2} 
           {n \choose {{n-1} \over 2}}
           \sin x

\right ] \cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1} \left [

           \cos {n x} 
           + 
           {n \choose 1}
           \cos {(n-2)  x}
           +
           {n \choose 2}
           \cos {(n - 4)  x}
           +
           {n \choose 3}
           \cos {(n - 6)  x}
           +
           \cdots
           +
           {n \choose {{n-1} \over 2}}
           \cos x

\right ]

Якщо n є цілим парним числом, то \sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^Шаблон:N \over 2 } \over {2^{n - 1} } } \left [

           \cos {n x} 
           - 
           {n \choose 1} 
           \cos {(n-2)  x}
           +
           {n \choose 2}
           \cos {(n-4)  x}
           -
           {n \choose 3} 
           \cos {(n-6)  x}
           +
           \cdots
           +
           {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2} 
           {n \choose {{n-2} \over 2}}
           \cos {2 x} 

\right ]

           +
           {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}

\cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1} \left [

           \cos {n x} 
           + 
           {n \choose 1} 
           \cos {(n - 2)  x}
           +
           {n \choose 2}
           \cos {(n - 4)  x}
           +
           {n \choose 3}
           \cos {(n - 6)  x}
           +
           \cdots
           +
           {n \choose {{n-2} \over 2}}
           \cos {2 x} 

\right ]

           +
           {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}

Розклади в ряд Тейлора[ред. • ред. код] Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій: \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

\begin{align} \operatorname{tg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2} \end{align} де Un n-те перетворення Бустрофедона, Bn числа Бернуллі, та En числа Ейлера.

\begin{align} \operatorname{cosec} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi \end{align}

\begin{align} \sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\ & {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2} \end{align}

\begin{align} \operatorname{ctg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi \end{align}

Зв'язок з експонентою та комплексними числами[ред. • ред. код] Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:

e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \,

Це співвідношення називається формулою Ейлера. Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z: \sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \operatorname{sh} \left( i z\right), \cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \operatorname{ch} \left(i z\right) де i 2 = −1, а \operatorname{sh} x та \operatorname{ch} x — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення \cos x = \operatorname{Re}(e^{i x})~,Наталія Ігорівна (обговорення) 19:48, 20 березня 2016 (EET)\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x})

Комплексний синус

Комплексний косинус

Комплексний тангенс Диференціювання та інтегрування[ред. • ред. код] \ \ \ \ f(x) \frac{d}{dx} f(x) \int f(x)\,dx \,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C \,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C \,\ \operatorname{tg} x \,\ \sec^{2} x -\ln \left |\cos x\right | + C \,\ \operatorname{ctg} x \,\ -\operatorname{cosec}^2 x \ln \left |\sin x\right | + C \,\ \sec x \,\ \sec{x}\operatorname{tg}{x} \ln \left |\sec x + \operatorname{tg} x\right | + C \,\ \operatorname{cosec} x \,\ -\operatorname{cosec}{x}\operatorname{ctg}{x} -\ln \left |\operatorname{cosec} x + \operatorname{ctg} x\right | + C Зв'язок з диференціальним рівнянням[ред. • ред. код] Функції \sin\, x та \cos\, x є розв'язками диференційного рівняння гармонічних коливань { d^2 y \over d{x^2}} + y = 0