Кільце

Кільце, -ця, с. 1) Кругъ, кружекъ. Ой у місці в крайній хаті кільцем танець ходить. Гатц. 296. 2) Кольцо вообще, за исключеніемъ носимаго на пальцѣ. Ведмідь здоровий, та кільце в носі. Ном. № 4228. Хто старцям милостину подавав, то все перед ним і лежить: чи шматок хліба, чи кільце ковбаски. ЗОЮР. І. 306. 3) Звено. Біда за біду чепляється, як у ланцюзі кільце за кільце. Ном. № 2164.

Сучасні словники

Кільце

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями подібними до додавання і множення цілих чисел. Вивченням властивостей кілець присв'ячена теорія кілець.

Означення та нотація Кільце — це множина з двома бінарними операціями, що звичайно позначаються "" та "" і називаються додаванням та множенням, яка задовільняє наступній системі аксіом:

є комутативною групою. Її називають адитивною групою кільця і нейтральний елемент в ній позначають як 0 (нуль); (дистрибутивність додавання щодо множення); (асоціативність множення); в існує нейтральний елемент 1 (одиниця), що задовільняє: Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею. Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями. Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця. Кільця, що задовольняють на вимогу комутативності множення називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів. Символ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, є скороченим записом . Якщо для двох елементів кільця та виконується рівність то кажуть, що є оберненим елементом до відносно множення. В цьому випадку елемент однозначно визначається елементом і позначається (звичайно, маємо також, що ). Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з витікає, що або , або , то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

Приклади Цілі числа із звичайними додаванням і множенням утворюють комутативне кільце. Якщо — будь-яке натуральне число, то множина залишків утворює комутативне кільце з елементів. Якщо — просте число, то є полем. Раціональні, дійсні та комплексні числа є полями, тобто комутативними кільцями, у яких кожний ненульовий елемент має обернений. Поліноми однієї змінної із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається Додавання та множення поліномів — почленні, тобто так само, комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної із раціональними, дійсними, або комплексними коефіцієнтами. Для будь-якого натурального , множина всіх матриць із цілими елементами утворює кільце, що позначається Це кільце — некомутативне, якщо Кватерніони — це ще одне некомутативне кільце. На відміну від матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений. Групова алгебра довільної групи — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце — комутативне тоді і тільки тоді, коли — комутативна група.

Властивості кілець якщо кільце містить більше одного елемента, то якщо і обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається . Наприклад, — циклічна група порядка

Ідеали Непорожня підмножина I кільця R називається правим ідеалом, якщо: з витікає ; з витікає для будь-якого . Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні . Ліві ідеали визначаються схожим чином, з заміною правих кратних на ліві кратні .

Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.

Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про ідеал. Приклади ідеалів в комутативних кільцях: Нульовий ідеал, що містить лише нуль; Одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця; Ідеал , породжений елементом , що складається з усіх його кратних елементів , де . Цей ідеал є найменшим серед ідеалів, які містять елемент . Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент

Наприклад, ідеал у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел.

Схожим чином можна побудувати ідеал , породжений кількома елементами , як сукупність сум вигляду , де , або як перетин усіх ідеалів кільця R, які містять елементи . У цьому випадку кажуть, що елементи складають базис цього ідеалу. Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали є завжди головними, бо вони породжуються нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно. Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа у кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) - найбільшому спільному дільникові.

Евклідові кільця та кільця головних ідеалів Докладніше: Евклідове кільце Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента визначено число з такими властивостями: Для будь-яких елементів кільця , справедливо . Якщо елемент , то будь-який елемент можна представити у вигляді , де або , або .

Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел (абсолютна величина), для многочленів (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгоритм Евкліда. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести наступну теорему. Теорема. В евклідовому кільці кожен ідеал є головним. Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називаеться кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Конструювання нових кілець з даних Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*). Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного r ∈ R. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R. Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) та (r1, s1) * (r2, s2) = (r1*r2, s1*s2). Якщо дано кільце R та ідеал I кільця R, кільце відношень (або фактор-кільце) R/I є множиною суміжних класів I разом з операціями (a+I) + (b+I) = (a+b) + I та (a+I) * (b+I) = (a*b) + I. Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток R над кільцем S з іншим кільцем T і отримати інше кільце, якщо S є центральним підкільцем R та T. До будь-якого кільця R, можна приєднати змінну x і отримати - кільце многочленів над R. Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати - кільце многочленів від змінних над кільцем R.

Бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні відносяться до групи залізобетонних конструкцій. У сучасному будівництві при здійсненні різних будівельних процесів широко використовуються різні ЗБВ, зокрема бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні.

Володіючи високими експлуатаційними параметрами бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні застосовуються при: благоустрій доріг і територій, прокладання інженерних комунікацій, будівництві будівель і споруд. Бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні мають ряд переваг, які вигідно виділяють їх серед інших будівельних матеріалів. Бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні не піддаються корозії, не гниють, стійкі до атмосферних умов завдяки своїй низькій теплопровідності. Бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні є високоміцними матеріалами, досить практичними і вигідними в застосуванні. Бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні мають високий експлуатаційний термін. Крім усього іншого, будучи ЗБВ, бетонні кільця, труби залізобетонні та труби азбестоцементні відносно недорогі будівельні матеріали.

Кільця Урану — система планетних кілець, що оточують Уран. Серед інших систем кілець вона займає проміжне положення за складністю будови між розвиненішою системою кілець Сатурна й простими системами кілець Юпітера та Нептуна.

Перші кільця Урана було відкрито 10 березня 1977 року Джеймсом Елліотом, Едвардом Данхемом і Дугласом Минка. За 200 років до цього Вільям Гершель повідомляв про спостереження кілець у Урана, проте сучасні астрономи сумніваються у можливості такого відкриття, тому що кільця дуже слабкі й темні і не могли бути виявлені за допомогою астрономічного обладнання того часу[1]. Ще два кільця було виявлено «Вояджером-2» 1986 року, ще два зовнішніх кільця було виявлено телескопом «Хаббл» у 2003-2005 роках. Станом на 2008 рік відомо 13 окремих кілець. У порядку збільшення відстані від планети вони розташовані так: 1986U2R / ζ, 6, 5, 4, α, β, η, γ, δ, λ, ε, ν і μ. Мінімальний радіус має кільце 1986U2R / ζ (38 000 км), максимальний - кільце μ (приблизно 98 000 км). Між основними кільцями можуть бути слабкі пилові кільцеві скупчення й незамкнені дуги. Кільця надзвичайно темні, альбедо Бонда для їх часток не перевищує 2%. Ймовірно, вони складаються з водяного льоду з включеннями органіки. Більшість кілець Урана непрозорі, їх ширина не більше декількох кілометрів. У цілому, кільцева система містить не багато пилу, вона складається в основному з великих об'єктів діаметром від 20 сантиметрів до 20 метрів. Однак деякі кільця оптично тонкі: широке тьмяне 1986U2R / ζ, μ та ν складаються з дрібних частинок пилу, тоді як вузьке тьмяне λ містить великі тіла. Відносно невелика кількість пилу в кільцевій системі пояснюється аеродинамічним опором протяжної екзосфери - корони Урана. Вважається, що кільця Урана відносно молоді, їхній вік не перевищує 600 мільйонів років. Кільцева система Урана, ймовірно, походить від зіткнень супутників, які раніше оберталися навколо планети. У результаті зіткнень супутники, ймовірно, поступово розбивалися на дрібніші частинки, які тепер існують як кільця в чітко визначених зонах максимальної гравітаційної стабільності. Досі не зрозумілий механізм, що утримує вузькі кільця в їх межах. Спочатку вважалося, що в кожного вузького кільця є пара «супутників-пастухів», які й підтримують його форму, але 1986 року Вояджер—2 знайшов тільки одну пару таких супутників (Корделію й Офелію) навколо найяскравішого кільця ε.

Кільце