|
|
| Рядок 1: |
Рядок 1: |
| − | Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.
| + | https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97 |
| − | Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь.
| + | |
| − | Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.
| + | |
| − | синус (sin α)
| + | |
| − | косинус (cos α)
| + | |
| − | тангенс (tg α = sin α / cos α)
| + | |
| − | котангенс (ctg α = cos α / sin α)
| + | |
| − | секанс (sec α = 1 / cos α)
| + | |
| − | косеканс (cosec α = 1 / sin α)
| + | |
| − | Зміст [сховати]
| + | |
| − | 1 Означення
| + | |
| − | 1.1 Геометричне визначення
| + | |
| − | 2 Основні співвідношення
| + | |
| − | 3 Теореми додавання та формули для кратних кутів
| + | |
| − | 3.1 Формули для функцій суми кутів
| + | |
| − | 3.2 Формули для функцій подвійних кутів
| + | |
| − | 3.3 Формули для функцій потрійних кутів
| + | |
| − | 3.4 Формули для функцій половинних кутів
| + | |
| − | 3.5 Формули для суми функцій кута
| + | |
| − | 3.6 Загальні формули для функцій кратних кутів
| + | |
| − | 4 Загальні формули для степенів функцій
| + | |
| − | 5 Розклади в ряд Тейлора
| + | |
| − | 5.1 Зв'язок з експонентою та комплексними числами
| + | |
| − | 6 Диференціювання та інтегрування
| + | |
| − | 7 Зв'язок з диференціальним рівнянням
| + | |
| − | 8 Джерела
| + | |
| − | 9 Див. також
| + | |
| − | 10 Посилання
| + | |
| − | Означення[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Геометричне визначення[ред. • ред. код]
| + | |
| − | | + | |
| − | Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.
| + | |
| − | | + | |
| − | Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.
| + | |
| − | Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
| + | |
| − | Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:
| + | |
| − | \cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~.
| + | |
| − | Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:
| + | |
| − | \sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~.
| + | |
| − | Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
| + | |
| − | \mbox{tg}~ \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\mbox{tg}~ \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~.
| + | |
| − | Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:
| + | |
| − | \mbox{ctg}~ \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\mbox{ctg}~ \beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~.
| + | |
| − | Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.
| + | |
| − | | + | |
| − | Один період функцій sin(x) та cos(x)
| + | |
| − | \sin\, x та \cos\, x це періодичні функції із періодом \ 2 \pi,
| + | |
| − | \operatorname{tg}\, x та \operatorname{ctg}\, x мають період \ \pi.
| + | |
| − | Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу [0,{\pi \over 2}]
| + | |
| − | \sin x = \cos \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | |
| − | \cos x = \sin \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | |
| − | \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | |
| − | \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | |
| − | Основні співвідношення[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Докладніше: Список тригонометричних тотожностей
| + | |
| − | Trigonometric functions.svg
| + | |
| − | Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:
| + | |
| − | ~\sin^2 x + \cos^2 x = 1
| + | |
| − | Теореми додавання та формули для кратних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Формули для функцій суми кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Із основного співвідношення
| + | |
| − | \sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
| + | |
| − | отримуємо
| + | |
| − | \sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,
| + | |
| − | \cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
| + | |
| − | \operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]]) \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} }
| + | |
| − | Формули для функцій подвійних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \sin {2 \alpha} = 2 \sin \alpha \cos \alpha
| + | |
| − | \cos {2 \alpha } = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
| + | |
| − | \operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) }
| + | |
| − | Формули для функцій потрійних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \sin {3 \alpha } = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\cos {3 \alpha} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha
| + | |
| − | Формули для функцій половинних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2}
| + | |
| − | \operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])
| + | |
| − | \operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha}
| + | |
| − | Формули для суми функцій кута[ред. • ред. код]
| + | |
| − | a \sin A + b \cos B = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right),~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~ {tg B = {b \over a} }
| + | |
| − | \sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}
| + | |
| − | \cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}
| + | |
| − | \cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}
| + | |
| − | \operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~
| + | |
| − | \operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}
| + | |
| − | Загальні формули для функцій кратних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Якщо n є цілим додатнім числом, то
| + | |
| − | \sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots
| + | |
| − | \cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots
| + | |
| − | Загальні формули для степенів функцій[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Якщо n є цілим непарним числом, то
| + | |
| − | \sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} }
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \sin {n x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \sin {(n-2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \sin {(n - 4) x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \sin {(n - 6) x}
| + | |
| − | + \cdots +
| + | |
| − | (-1)^{{n-1} \over 2}
| + | |
| − | {n \choose {{n-1} \over 2}}
| + | |
| − | \sin x
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | \cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1}
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \cos {n x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \cos {(n-2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \cos {(n - 4) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \cos {(n - 6) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | \cdots
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {{n-1} \over 2}}
| + | |
| − | \cos x
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | | + | |
| − | Якщо n є цілим парним числом, то
| + | |
| − | \sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } }
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \cos {n x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \cos {(n-2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \cos {(n-4) x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \cos {(n-6) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | \cdots
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2}
| + | |
| − | {n \choose {{n-2} \over 2}}
| + | |
| − | \cos {2 x}
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}
| + | |
| − | \cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1}
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \cos {n x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \cos {(n - 2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \cos {(n - 4) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \cos {(n - 6) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | \cdots
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {{n-2} \over 2}}
| + | |
| − | \cos {2 x}
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}
| + | |
| − | Розклади в ряд Тейлора[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:
| + | |
| − | \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
| + | |
| − | \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \operatorname{tg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
| + | |
| − | & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2}
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | де
| + | |
| − | Un n-те перетворення Бустрофедона,
| + | |
| − | Bn числа Бернуллі, та
| + | |
| − | En числа Ейлера.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \operatorname{cosec} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
| + | |
| − | = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2}
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \operatorname{ctg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | | + | |
| − | Зв'язок з експонентою та комплексними числами[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:
| + | |
| − | e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \,
| + | |
| − | Це співвідношення називається формулою Ейлера.
| + | |
| − | Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z:
| + | |
| − | \sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \operatorname{sh} \left( i z\right),
| + | |
| − | \cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \operatorname{ch} \left(i z\right)
| + | |
| − | де i 2 = −1, а \operatorname{sh} x та \operatorname{ch} x — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення
| + | |
| − | \cos x = \operatorname{Re}(e^{i x})~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]]) 19:48, 20 березня 2016 (EET)\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x})
| + | |
| − | | + | |
| − | Комплексний синус
| + | |
| − | | + | |
| − | Комплексний косинус
| + | |
| − | | + | |
| − | Комплексний тангенс
| + | |
| − | Диференціювання та інтегрування[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \ \ \ \ f(x) \frac{d}{dx} f(x) \int f(x)\,dx
| + | |
| − | \,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C
| + | |
| − | \,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C
| + | |
| − | \,\ \operatorname{tg} x \,\ \sec^{2} x -\ln \left |\cos x\right | + C
| + | |
| − | \,\ \operatorname{ctg} x \,\ -\operatorname{cosec}^2 x \ln \left |\sin x\right | + C
| + | |
| − | \,\ \sec x \,\ \sec{x}\operatorname{tg}{x} \ln \left |\sec x + \operatorname{tg} x\right | + C
| + | |
| − | \,\ \operatorname{cosec} x \,\ -\operatorname{cosec}{x}\operatorname{ctg}{x} -\ln \left |\operatorname{cosec} x + \operatorname{ctg} x\right | + C
| + | |
| − | Зв'язок з диференціальним рівнянням[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Функції \sin\, x та \cos\, x є розв'язками диференційного рівняння гармонічних коливань
| + | |
| − | { d^2 y \over d{x^2}} + y = 0
| + | |
