Відмінності між версіями «Пряма»
(Створена сторінка: Пряма́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма...) |
|||
| (не показано одну проміжну версію цього учасника) | |||
| Рядок 3: | Рядок 3: | ||
Три графіки лініній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b. | Три графіки лініній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b. | ||
| − | + | ||
| − | + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/math/d/2/3/d231e514817d440b7e0c28af6d6c21c1.png]] | |
де a\,, b\,, c\, — деякі числа, при чому a\, або b\, повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним». | де a\,, b\,, c\, — деякі числа, при чому a\, або b\, повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним». | ||
Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції: | Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції: | ||
| − | + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/math/1/0/a/10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png]] | |
| + | |||
Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину. | Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину. | ||
| − | В n-вимірному просторі | + | В n-вимірному просторі |
Нехай задано вектор k в n-вимірному Евклідовому просторі E^n, k = (k_i) \in E^n, та \alpha_1, \dots, \alpha_n — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок x=x_i простору E^n, координати яких представлено у вигляді: | Нехай задано вектор k в n-вимірному Евклідовому просторі E^n, k = (k_i) \in E^n, та \alpha_1, \dots, \alpha_n — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок x=x_i простору E^n, координати яких представлено у вигляді: | ||
x_i = k_i + \alpha_i t,\qquad -\infty< t < +\infty,\quad i=1, \dots, n, | x_i = k_i + \alpha_i t,\qquad -\infty< t < +\infty,\quad i=1, \dots, n, | ||
| Рядок 15: | Рядок 16: | ||
Частина прямої, що відповідає зміні параметру t в деякому відрізку [a, b] називається прямолінійним відрізком а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку t\ge a, — промінем. | Частина прямої, що відповідає зміні параметру t в деякому відрізку [a, b] називається прямолінійним відрізком а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку t\ge a, — промінем. | ||
Якщо задано дві точки (x'_i), (x''_i) то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд: | Якщо задано дві точки (x'_i), (x''_i) то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд: | ||
| − | + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/math/3/2/a/32ae416a485e1d3b46ecb9f9010991eb.png]] | |
| + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/math/3/2/a/32ae416a485e1d3b46ecb9f9010991eb.png]] | ||
Узагальнене визначення[ред. • ред. код] | Узагальнене визначення[ред. • ред. код] | ||
| − | Прямою в афінному просторі \mathcal{A} що задається точкою M_0 та відмінним від нуля вектором \mathbf{a}\in \mathcal{V} називається множина точок M, для яких вектор \overrightarrow{M_0 M} колінеарний вектору \mathbf{a}, тобто, виконується рівність:[3 | + | Прямою в афінному просторі \mathcal{A} що задається точкою M_0 та відмінним від нуля вектором \mathbf{a}\in \mathcal{V} називається множина точок M, для яких вектор \overrightarrow{M_0 M} колінеарний вектору \mathbf{a}, тобто, виконується рівність: |
| − | + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/math/7/7/3/773eec0f57902815d39d0fe17a30e9ec.png]] | |
Таким чином, довільна пряма в просторі \mathcal{A} має властивості афінного простору розмірності 1. | Таким чином, довільна пряма в просторі \mathcal{A} має властивості афінного простору розмірності 1. | ||
| − | В метричному просторі під "прямою" розуміють геодезичну лінію, тобто таку лінію, на якій досягається найменша відстань між двома точками | + | В метричному просторі під "прямою" розуміють геодезичну лінію, тобто таку лінію, на якій досягається найменша відстань між двома точками |
| − | Властивості | + | Властивості |
| − | Пряма m паралельна площині \alpha тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма p паралельна прямій m. | + | Пряма m паралельна площині \alpha тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма p паралельна прямій m. |
| − | Якщо пряма m паралельна кожній з площин \alpha та \beta що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину. | + | Якщо пряма m паралельна кожній з площин \alpha та \beta що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину. |
| − | Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.[ | + | Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку. |
| + | |||
| + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Linear_functions2.PNG]] | ||
| + | [[|міні|http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo4a.gif]] | ||
| + | [[|міні|https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Pedal_line_illustration.png]] | ||
Поточна версія на 20:17, 20 березня 2016
Пряма́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками. Основна властивість прямої: через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. Алгебраїчне визначення[ред. • ред. код]
Три графіки лініній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.
[[|міні|
]]
де a\,, b\,, c\, — деякі числа, при чому a\, або b\, повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».
Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:
[[|міні|
]]
Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину. В n-вимірному просторі Нехай задано вектор k в n-вимірному Евклідовому просторі E^n, k = (k_i) \in E^n, та \alpha_1, \dots, \alpha_n — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок x=x_i простору E^n, координати яких представлено у вигляді:
x_i = k_i + \alpha_i t,\qquad -\infty< t < +\infty,\quad i=1, \dots, n,
називається прямою в просторі E^n що проходить через точку k в «напрямі» (\alpha_1, \dots, \alpha_n).[2]
Частина прямої, що відповідає зміні параметру t в деякому відрізку [a, b] називається прямолінійним відрізком а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку t\ge a, — промінем.
Якщо задано дві точки (x'_i), (x_i) то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:
[[|міні|
]]
[[|міні|]]
Узагальнене визначення[ред. • ред. код]
Прямою в афінному просторі \mathcal{A} що задається точкою M_0 та відмінним від нуля вектором \mathbf{a}\in \mathcal{V} називається множина точок M, для яких вектор \overrightarrow{M_0 M} колінеарний вектору \mathbf{a}, тобто, виконується рівність:
[[|міні|
]]
Таким чином, довільна пряма в просторі \mathcal{A} має властивості афінного простору розмірності 1.
В метричному просторі під "прямою" розуміють геодезичну лінію, тобто таку лінію, на якій досягається найменша відстань між двома точками
Властивості
Пряма m паралельна площині \alpha тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма p паралельна прямій m.
Якщо пряма m паралельна кожній з площин \alpha та \beta що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.
Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.
[[|міні|
]]
[[|міні|
]]
[[|міні|
]]
