|
|
| (не показано 6 проміжних версій цього учасника) |
| Рядок 1: |
Рядок 1: |
| | Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. | | Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. |
| | + | |
| | Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь. | | Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь. |
| | Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями. | | Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями. |
| | + | |
| | синус (sin α) | | синус (sin α) |
| | + | |
| | косинус (cos α) | | косинус (cos α) |
| | + | |
| | тангенс (tg α = sin α / cos α) | | тангенс (tg α = sin α / cos α) |
| | + | |
| | котангенс (ctg α = cos α / sin α) | | котангенс (ctg α = cos α / sin α) |
| | + | |
| | секанс (sec α = 1 / cos α) | | секанс (sec α = 1 / cos α) |
| | + | |
| | косеканс (cosec α = 1 / sin α) | | косеканс (cosec α = 1 / sin α) |
| − | Зміст [сховати] | + | |
| | + | Зміст |
| | 1 Означення | | 1 Означення |
| | 1.1 Геометричне визначення | | 1.1 Геометричне визначення |
| Рядок 24: |
Рядок 32: |
| | 6 Диференціювання та інтегрування | | 6 Диференціювання та інтегрування |
| | 7 Зв'язок з диференціальним рівнянням | | 7 Зв'язок з диференціальним рівнянням |
| − | 8 Джерела
| |
| − | 9 Див. також
| |
| − | 10 Посилання
| |
| − | Означення[ред. • ред. код]
| |
| − | Геометричне визначення[ред. • ред. код]
| |
| | | | |
| − | Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.
| + | Геометричне визначення |
| | | | |
| − | Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.
| |
| | Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник. | | Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник. |
| − | Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи: | + | Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи |
| − | \cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~.
| + | [[Файл:59a3743acbe90b0cc295efdbf0bf781b.png|міні]] |
| | Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи: | | Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи: |
| − | \sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~.
| + | [[Файл:762add9c3406675b52098347c726b6b8.png|міні]] |
| | Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета: | | Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета: |
| − | \mbox{tg}~ \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\mbox{tg}~ \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~.
| + | [[Файл:465ffd6736b49f7838a35eda83dbc46d.png|міні]] |
| | Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета: | | Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета: |
| − | \mbox{ctg}~ \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\mbox{ctg}~ \beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~.
| + | [[Файл:65d1ba0ecde09684a2a267e0f837dd12.png|міні]] |
| | Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом. | | Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом. |
| − |
| |
| − | Один період функцій sin(x) та cos(x)
| |
| | \sin\, x та \cos\, x це періодичні функції із періодом \ 2 \pi, | | \sin\, x та \cos\, x це періодичні функції із періодом \ 2 \pi, |
| | \operatorname{tg}\, x та \operatorname{ctg}\, x мають період \ \pi. | | \operatorname{tg}\, x та \operatorname{ctg}\, x мають період \ \pi. |
| | Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу [0,{\pi \over 2}] | | Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу [0,{\pi \over 2}] |
| − | \sin x = \cos \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | [[|міні|https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97]] |
| − | \cos x = \sin \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | [[|міні|http://go.mail.ru/search_video?q=%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96%20%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F&gp=820339]] |
| − | \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | |
| − | \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} \left({\pi \over 2} -x\right)
| + | |
| − | Основні співвідношення[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Докладніше: Список тригонометричних тотожностей
| + | |
| − | Trigonometric functions.svg
| + | |
| − | Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:
| + | |
| − | ~\sin^2 x + \cos^2 x = 1
| + | |
| − | Теореми додавання та формули для кратних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Формули для функцій суми кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Із основного співвідношення
| + | |
| − | \sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
| + | |
| − | отримуємо
| + | |
| − | \sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,
| + | |
| − | \cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
| + | |
| − | \operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]]) \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} }
| + | |
| − | Формули для функцій подвійних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \sin {2 \alpha} = 2 \sin \alpha \cos \alpha
| + | |
| − | \cos {2 \alpha } = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
| + | |
| − | \operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) }
| + | |
| − | Формули для функцій потрійних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \sin {3 \alpha } = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\cos {3 \alpha} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha
| + | |
| − | Формули для функцій половинних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2}
| + | |
| − | \operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]])
| + | |
| − | \operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha}
| + | |
| − | Формули для суми функцій кута[ред. • ред. код]
| + | |
| − | a \sin A + b \cos B = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right),~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~ {tg B = {b \over a} }
| + | |
| − | \sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}
| + | |
| − | \cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}
| + | |
| − | \cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}
| + | |
| − | \operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~
| + | |
| − | \operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}
| + | |
| − | Загальні формули для функцій кратних кутів[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Якщо n є цілим додатнім числом, то
| + | |
| − | \sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots
| + | |
| − | \cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots
| + | |
| − | Загальні формули для степенів функцій[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Якщо n є цілим непарним числом, то
| + | |
| − | \sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} }
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \sin {n x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \sin {(n-2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \sin {(n - 4) x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \sin {(n - 6) x}
| + | |
| − | + \cdots +
| + | |
| − | (-1)^{{n-1} \over 2}
| + | |
| − | {n \choose {{n-1} \over 2}}
| + | |
| − | \sin x
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | \cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1}
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \cos {n x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \cos {(n-2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \cos {(n - 4) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \cos {(n - 6) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | \cdots
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {{n-1} \over 2}}
| + | |
| − | \cos x
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | | + | |
| − | Якщо n є цілим парним числом, то
| + | |
| − | \sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } }
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \cos {n x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \cos {(n-2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \cos {(n-4) x}
| + | |
| − | -
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \cos {(n-6) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | \cdots
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2}
| + | |
| − | {n \choose {{n-2} \over 2}}
| + | |
| − | \cos {2 x}
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}
| + | |
| − | \cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1}
| + | |
| − | \left [
| + | |
| − | \cos {n x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 1}
| + | |
| − | \cos {(n - 2) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 2}
| + | |
| − | \cos {(n - 4) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose 3}
| + | |
| − | \cos {(n - 6) x}
| + | |
| − | +
| + | |
| − | \cdots
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {{n-2} \over 2}}
| + | |
| − | \cos {2 x}
| + | |
| − | \right ]
| + | |
| − | +
| + | |
| − | {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}
| + | |
| − | Розклади в ряд Тейлора[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:
| + | |
| − | \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
| + | |
| − | \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \operatorname{tg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
| + | |
| − | & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2}
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | де
| + | |
| − | Un n-те перетворення Бустрофедона,
| + | |
| − | Bn числа Бернуллі, та
| + | |
| − | En числа Ейлера.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \operatorname{cosec} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
| + | |
| − | = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2}
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align}
| + | |
| − | \operatorname{ctg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
| + | |
| − | & {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi
| + | |
| − | \end{align}
| + | |
| − | | + | |
| − | Зв'язок з експонентою та комплексними числами[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:
| + | |
| − | e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \,
| + | |
| − | Це співвідношення називається формулою Ейлера.
| + | |
| − | Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z:
| + | |
| − | \sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \operatorname{sh} \left( i z\right),
| + | |
| − | \cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \operatorname{ch} \left(i z\right)
| + | |
| − | де i 2 = −1, а \operatorname{sh} x та \operatorname{ch} x — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення
| + | |
| − | \cos x = \operatorname{Re}(e^{i x})~,[[Користувач:Nikozerenko.uk14|Наталія Ігорівна]] ([[Обговорення користувача:Nikozerenko.uk14|обговорення]]) 19:48, 20 березня 2016 (EET)\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x})
| + | |
| − | | + | |
| − | Комплексний синус
| + | |
| − | | + | |
| − | Комплексний косинус
| + | |
| − | | + | |
| − | Комплексний тангенс
| + | |
| − | Диференціювання та інтегрування[ред. • ред. код]
| + | |
| − | \ \ \ \ f(x) \frac{d}{dx} f(x) \int f(x)\,dx
| + | |
| − | \,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C
| + | |
| − | \,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C
| + | |
| − | \,\ \operatorname{tg} x \,\ \sec^{2} x -\ln \left |\cos x\right | + C
| + | |
| − | \,\ \operatorname{ctg} x \,\ -\operatorname{cosec}^2 x \ln \left |\sin x\right | + C
| + | |
| − | \,\ \sec x \,\ \sec{x}\operatorname{tg}{x} \ln \left |\sec x + \operatorname{tg} x\right | + C
| + | |
| − | \,\ \operatorname{cosec} x \,\ -\operatorname{cosec}{x}\operatorname{ctg}{x} -\ln \left |\operatorname{cosec} x + \operatorname{ctg} x\right | + C
| + | |
| − | Зв'язок з диференціальним рівнянням[ред. • ред. код]
| + | |
| − | Функції \sin\, x та \cos\, x є розв'язками диференційного рівняння гармонічних коливань
| + | |
| − | { d^2 y \over d{x^2}} + y = 0
| + | |
Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.
Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь.
Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.
Зміст
1 Означення
1.1 Геометричне визначення
2 Основні співвідношення
3 Теореми додавання та формули для кратних кутів
3.1 Формули для функцій суми кутів
3.2 Формули для функцій подвійних кутів
3.3 Формули для функцій потрійних кутів
3.4 Формули для функцій половинних кутів
3.5 Формули для суми функцій кута
3.6 Загальні формули для функцій кратних кутів
4 Загальні формули для степенів функцій
5 Розклади в ряд Тейлора
5.1 Зв'язок з експонентою та комплексними числами
6 Диференціювання та інтегрування
7 Зв'язок з диференціальним рівнянням
Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи
Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:
